수학 리포트: 조합론으로 보는 로또 6/45 확률 구조

로또 1등 당첨 확률이 8,145,060분의 1이라는 사실은 많은 분들이 알고 계실 겁니다. 하지만 이 숫자가 어떻게 계산되는지, 그 수학적 배경은 무엇인지 궁금하신 적 없으신가요?

조합론의 기초: nCr

로또 6/45는 45개의 공 중에서 순서에 상관없이 6개를 선택하는 게임입니다. 이를 수학적으로 표현하면:

C(45, 6) = 45! / (6! × 39!)

여기서:

• n! (팩토리얼)은 1부터 n까지 모든 자연수를 곱한 값입니다.
• 45! = 45 × 44 × 43 × … × 2 × 1

단계별 계산

실제로 계산해보면:

C(45,6) = 45! / (6! × 39!)
        = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
        = 5,864,443,200 / 720
        = 8,145,060

즉, 45개의 번호 중 6개를 선택하는 경우의 수는 8,145,060가지입니다.

확률의 의미

이 숫자는 무엇을 의미할까요?

• 매주 1장씩 구매한다면, 평균적으로 약 15만 6천 년이 걸려야 1등에 당첨될 수 있습니다.
• 매주 100장을 구매해도 약 1,560년이 필요합니다.
• 이는 벼락에 맞을 확률(약 100만분의 1)보다도 8배 이상 낮은 확률입니다.

2등, 3등의 확률은?

• 2등 (5개 번호 + 보너스 번호): C(6,5) × C(1,1) × C(38,0) / C(45,6) = 6 / 8,145,060 = 약 135만분의 1
• 3등 (5개 번호): C(6,5) × C(39,1) / C(45,6) = 234 / 8,145,060 = 약 3만 4천분의 1

결론: 수학은 거짓말하지 않는다

조합론적 관점에서 보면, 로또는 철저히 확률의 게임입니다. 어떤 번호를 선택하든, 어떤 전략을 사용하든, 1등에 당첨될 수학적 확률은 변하지 않습니다.

로또는 ‘투자’가 아니라 ‘오락’으로 즐겨야 하는 이유가 바로 여기에 있습니다.